Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]

Задача 116640

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Дольников В.Л.

Назовём компанию k-неразбиваемой, если при любом разбиении её на k групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая – 1-неразбиваемая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109698

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
Темы:	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Дольников В.Л.

В некоторой группе из 12 человек среди каждых девяти найдутся пять попарно знакомых. Докажите, что в этой группе найдутся шесть попарно знакомых.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109709

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Теорема Пика	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Дольников В.Л., Богданов И.И.

На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A₁B₁C₁D₁E₁ (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109765

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Дольников В.Л., Богданов И.И.

На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109859

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k+1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить не более чем на 2k-1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]