Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 135]      

Может ли в сечении какого-то тетраэдра двумя разными плоскостями получиться два квадрата: один – со стороной, не большей 1, а другой – со стороной, не меньшей 100?

Прислать комментарий

Решение

Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, точка $M$ – середина стороны $AC$. Прямая $BO$ пересекает высоты $AA_1$ и $CC_1$ в точках $H_a$ и $H_c$ соответственно. Описанные окружности треугольников $BH_aA$ и $BH_cC$ вторично пересекаются в точке $K$. Докажите, что $K$ лежит на прямой $BM$.

Прислать комментарий

Решение

Луноход ездит по поверхности планеты, имеющей форму шара с длиной экватора 400 км. Планета считается полностью исследованной, если луноход побывал на расстоянии по поверхности не более 50 км от каждой точки поверхности и вернулся на базу (в исходную точку). Может ли луноход полностью исследовать планету, преодолев не более 600 км?

Прислать комментарий

Решение

Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной не более $14a$?

Прислать комментарий

Решение

Коттеджный посёлок имеет размеры 𝑛 × 𝑚 одинаковых квадратных участков. Собственники по очереди начали огораживать свои участки забором. Стоимость части забора между любыми двумя соседними участками составила 10 тысяч рублей и её полностью нёс тот сосед, который огораживал свой участок первым (расходы не делились между соседями, то есть некоторые могли вообще ничего не потратить). В итоге все участки оказались огорожены забором с четырёх сторон. Могло ли оказаться, что в итоге поровну жителей потратило на забор по 0, 10, 30 и 40 тысяч рублей, а остальные — по 20 тысяч?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 135]