Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]

Задача 78248

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Доказать, что можно так расположить числа от 1 до n² в таблицу n×n, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78251

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дана последовательность чисел F₁, F₂, ...; F₁ = F₂ = 1 и F_n+2 = F_n + F_n+1. Доказать, что F_5k делится на 5 при k = 1, 2, ... .

Прислать комментарий

Решение

Задача 78260

Темы:	[	Четность и нечетность	]
Темы:	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Доказать, что не существует целых чисел a, b, c, d, удовлетворяющих равенствам:
abcd – a = 1961,
abcd – b = 961,
abcd – c = 61,
abcd – d = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78261

Темы:	[	Четность и нечетность	]
Темы:	[	Ломаные	]

Сложность: 3+
Классы: 9

Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (см. рис.).

Доказать, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но её вершины не должны лежать на отрезках, а стороны – проходить через вершины фигуры.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78267

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

a, b, p – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые k, l, что ak + bl делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]