Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]

Задача 109756 (#02.5.11.5)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Токарев С.И.

Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108139 (#02.5.11.6)

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, O – точка пересечения диагоналей AC и BD . Пусть окружности, описанные около треугольников ABO и COD , пересекаются в точке K . Точка L такова, что треугольник BLC подобен треугольнику AKD . Докажите, что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он он является описанным.

Прислать комментарий Решение

Задача 109765 (#02.5.11.7)

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Дольников В.Л., Богданов И.И.

На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109758 (#02.5.11.8)

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Петров Ф.

Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числитель несократимой дроби, равной 1 + ½ + ... + ¹/_n, не является степенью простого числа с натуральным показателем.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]