Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 69]

Задача 56806 (#04.055)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (прямая Гаусса).

Прислать комментарий Решение

Задача 56807 (#04.055B)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC и DC параллелограмма ABCD выбраны точки D₁ и B₁ так, что BD₁ = DB₁. Отрезки BB₁ и DD₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что AQ — биссектриса угла BAD.

Прислать комментарий Решение

Задача 56808 (#04.056)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 5
Классы: 9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁ и на сторонах AB и AC взяты точки K и L так, что AK = BC₁ и AL = CB₁. Докажите, что прямая AO, где O — центр описанной окружности треугольника ABC, делит отрезок KL пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 56809 (#04.057)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 5
Классы: 9

Медианы AA₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что если четырехугольник A₁BC₁M описанный, то AB = BC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56810 (#04.058)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 6
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC, CA, AB треугольника через d_a, d_b, d_c, а расстояния от точки O до вершин A, B, C через R_a, R_b, R_c. Докажите, что:
а) aR_a $\geq$ cd_c + bd_b;
б) d_aR_a + d_bR_b + d_cR_c $\geq$ 2(d_ad_b + d_bd_c + d_cd_a);
в) R_a + R_b + R_c $\geq$ 2(d_a + d_b + d_c) (Эрдёш-Морделл);
г) R_aR_bR_c $\geq$ (R/2r)(d_a + d_b)(d_b + d_c)(d_c + d_a).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 69]