Даны окружность S и две хорды AB и CD. Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку X, чтобы прямые AX и BX высекали на CD отрезок а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной точке E хорды CD.

   Решение

Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки.

   Решение

Даны две прямые l₁ и l₂ и две точки A и B, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l₁ такую точку X, чтобы прямые AX и BX высекали на прямой l₂ отрезок, а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной точке E прямой l₂.

   Решение

а) Докажите, что проективное преобразование P плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую, является аффинным.
б) Докажите, что если точки A, B, C, D лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования P плоскости , то P(A)P(B) : P(C)P(D) = AB : CD.
в) Докажите, что если проективное преобразование P переводит параллельные прямые l₁ и l₂ в параллельные прямые, то либо P аффинно, либо его исключительная прямая параллельна прямым l₁ и l₂.
г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что P проективно.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]      

На стороне AB четырехугольника ABCD взята точка M₁. Пусть M₂ — проекция M₁ на прямую BC из D, M₃ — проекция M₂ на CD из A, M₄ — проекция M₃ на DA из B, M₅ — проекция M₄ на AB из C и т. д. Докажите, что M₁₃ = M₁ (а значит, M₁₄ = M₂, M₁₅ = M₃ и т. д.).

Прислать комментарий

Решение

Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему о полном четырехстороннике (задача 30.34).

Прислать комментарий

Решение

Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему Паппа (задача 30.27).

Прислать комментарий

Решение

Используя проективные преобразования прямой, решите задачу о бабочке (задача 30.44).

Прислать комментарий

Решение

Точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой (Паскаль).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]