У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение  f(x) = g(x)  имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?

   Решение

Пусть ABC – правильный треугольник. На его стороне AC выбрана точка T, а на дугах AB и BC его описанной окружности выбраны точки M и N соответственно так, что  MT || BC  и  NT || AB.  Отрезки AN и MT пересекаются в точке X, а отрезки CM и NT – в точке Y. Докажите, что периметры многоугольников AXYC и XMBNY равны.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 82]      

Вписанная окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке K. Докажите, что площадь треугольника равна  BK ^. KCctg(/2).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если  ctg(/2) = (b + c)/a, то треугольник прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Продолжения биссектрис треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что  S_ABC/S_A1B1C1 = 2r/R, где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что сумма котангенсов углов треугольника ABC равна сумме котангенсов углов треугольника, составленного из медиан треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Пусть A₄ — ортоцентр треугольника A₁A₂A₃. Докажите, что существуют такие числа  ,...,, что  A_iA_j² = + , причем, если треугольник не прямоугольный, то  (1/) = 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 82]