Версия для печати
Убрать все задачи

---

Среди всех решений системы
    x² + y² = 4,
    z² + t² = 9,
    xt + yz = 6
выберите те, для которых величина  x + z  принимает наибольшее значение.

   Решение

---

Петя взял произвольное натуральное число, умножил его на 5, результат снова умножил на 5, потом ещё на 5, и так далее.
Верно ли, что с какого-то момента все получающиеся у Пети числа будут содержать 5 в своей десятичной записи?

   Решение

---

В вершинах выпуклого n-угольника расставлены m фишек  (m > n).  За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64761  (#9.1)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза.
Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64762  (#9.2)

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Серёжа выбрал два различных натуральных числа a и b. Он записал в тетрадь четыре числа:  a,  a + 2,  b и  b + 2.  Затем он выписал на доску все шесть попарных произведений чисел из тетради. Какое наибольшее количество точных квадратов может быть среди чисел на доске?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64763  (#9.3)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Индукция в геометрии ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В выпуклом n-угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется хорошей, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64764  (#9.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Точка M – середина стороны AC остроугольного треугольника ABC, в котором  AB > BC.  Касательные к описанной окружности Ω треугольника ABC, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке P. Отрезки BP и AC пересекаются в точке S. Пусть AD – высота треугольника BP. Описанная окружность ω треугольника CSD второй раз пересекает окружность Ω в точке K. Докажите, что  ∠CKM = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64765  (#9.5)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями