Версия для печати
Убрать все задачи

---

Многочлен  P(x) = x³ + ax² + bx + c  имеет три различных действительных корня, а многочлен P(Q(x)), где  Q(x) = x² + x + 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что  P(2001) > ¹/₆₄.

   Решение

---

В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64948  (#9.1)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В круговом шахматном турнире участвовало шесть человек: два мальчика и четыре девочки. Могли ли мальчики по итогам турнира набрать в два раза больше очков, чем девочки? (В круговом шахматном турнире каждый игрок играет с каждым по одной партии. За победу дается 1 очко, за ничью – 0,5, за поражение – 0).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64949  (#9.2)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Про коэффициенты a, b, c и d двух квадратных трёхчленов  x² + bx + c  и  x² + ax + d  известно, что 0 < a < b < c < d.
Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64950  (#9.3)

Темы:   [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC. Прямая, параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно, а медиану AM – в точке Q. Известно, что  PQ = 3,  а  QT = 5.  Найдите длину AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64951  (#9.4)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать НОД (наибольший общий делитель) этих чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64952  (#9.5)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Четырёхугольник ABCD – вписанный. На его диагоналях AC и BD отметили точки K и L соответственно так, что  AK = AB  и  DL = DC.
Докажите, что прямые KL и AD параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями