Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78669 (#1)

Тема:

[

Симметричная стратегия

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

На плоскости отмечено 1968 точек, являющихся вершинами правильного 1968-угольника. Двое играют в следующую игру: каждый по очереди соединяет две вершины многоугольника отрезком, соблюдая следующие правила: нельзя соединять две точки, хотя бы одна из которых уже соединена с чем-то, и нельзя пересекать уже проведённые отрезки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода согласно этим правилам. Как нужно играть, чтобы выиграть? Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий Решение

Задача 78670 (#2)

Темы:	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На плоскости даны три точки. Из них выбираются любые две, строится серединный перпендикуляр к отрезку, их соединяющему, и все точки отражаются относительно этой прямой, затем из всех точек (старых и новых) снова выбираются какие-то две точки и вся процедура повторяется. Так делается бесконечно много раз. Доказать, что в плоскости найдётся такая прямая, что все полученные точки будут лежать по одну сторону от нее.

Прислать комментарий Решение

Задача 78671 (#3)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Два маляра красят забор, огораживающий дачные участки. Они приходят через день и красят по одному участку (участков 100 штук) в красный или зелёный цвет. Первый маляр дальтоник и путает цвета, он помнит, что и в какой цвет он сам покрасил, и видит, что покрасил второй маляр, но не знает, в какой цвет. Первый маляр добивается того, чтобы в наибольшем числе мест зелёный участок граничил с красным. Какого наибольшего числа переходов он может добиться (как бы ни действовал второй маляр)?

Замечание. Считается, что дачные участки расположены в одну линию.

Прислать комментарий Решение

Задача 78672 (#4)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Двухсотзначное число 89252525...2525 умножено на число 444x18y27 (x и y — неизвестные цифры). Оказалось, что 53-я цифра полученного числа (считая справа) есть 1, а 54-я — 0. Найти x и y.

Прислать комментарий Решение

Задача 78673 (#5)

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Задачи на движение	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

Ковбой Джимми поспорил с друзьями, что сумеет одним выстрелом пробить все четыре лопасти вертилятора. (Вертилятор устроен следующим образом: на оси, вращающейся со скоростью 50 об/сек, расположены на равных расстояниях друг от друга четыре полудиска, повернутые друг относительно друга под какими-то углами). Джимми может стрелять в любой момент и добиваться произвольной скорости пуль. Доказать, что Джимми выиграет пари.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]