Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]

Задача 79343

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Существуют ли а) 6, б)15, в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79345

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство P(x) > x. Определим последовательность {b_n} следующим образом: b₁ = 1, b_k+1 = P(b_k) для k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {b_n}, делящийся на d. Докажите, что P(x) = x + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79340

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Найти наименьшее n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения n треугольников. Докажите, что для меньших n это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]