Версия для печати
Убрать все задачи

---

В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

   Решение

---

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109742  (#01.5.10.6)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Вспомогательные проекции ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108143  (#01.5.10.7)

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC взяты точки A1 , B1 , C1 , отличные от точки пересечения высот H , причём сумма площадей треугольников ABC1 , BCA1 , CAB1 равна площади треугольника ABC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1 , проходит через точку H .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109744  (#01.5.10.8)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Найдите все такие натуральные числа n, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число  a + b – 1  также является делителем n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109731  (#01.5.11.1)

Темы:   [ Средние величины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

  Пусть 2S – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число k средним, если в наборе можно выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108142  (#01.5.11.2)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теорема синусов ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями