Этапы:
-
Региональный этап
(27 задач)
Заключительный этап
(23 задачи)
Фильтр
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
На плоскости даны 2n + 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что n из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а n — вне ее.
Решение
Найдите объём правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 1.
Решение
Решение
Решение
Убрать все задачи
На плоскости даны 2n + 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что n из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а n — вне ее.
РешениеНайдите объём правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 1.
РешениеСуществуют ли 19 таких попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, что их сумма равна 1999?
РешениеНайдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел a1, a2, a3, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено
Решение
Задачи
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]
На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролик и
Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые
номера до начала игры определяются жребием. При этом
Винни может добавлять орех только в первую или вторую банку, Кролик –
только во вторую или третью, а Пятачок – в первую или третью.
Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов, проигрывает.
Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл.
Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается
его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M
соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники
BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние
касательные, отличные от сторон треугольника ABC .
Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.
В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены
n2 фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание
любой фишкой через соседнюю по стороне фишку,
непосредственно за которой следует свободная клетка.
При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что
позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через
[
] ходов.
Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а
сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n ?
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]
Задача 109691 (#99.5.10.1) |
|
|
Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов, проигрывает.
Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл.
|
|
Решение |
Задача 109692 (#99.5.10.2) |
|
|
Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел a1, a2, a3, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено
|
|
|
Решение |
Задача 108156 (#99.5.10.3) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109694 (#99.5.10.4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109695 (#99.5.10.5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]
