Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 108142 (#01.5.10.3)

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянова Т.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 109740 (#01.5.10.4)

Темы:	[	Деревья	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Связность и разложение на связные компоненты	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Карпов Д.В.

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причём между каждыми двумя городами существует единственный несамопересекающийся путь по дорогам. Известно, что в стране ровно 100 городов, из которых выходит по одной дороге. Докажите, что можно построить 50 новых дорог так, что после этого даже при закрытии любой дороги можно будет из каждого города попасть в любой другой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109741 (#01.5.10.5)

Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Кубические многочлены	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Терешин Д.А.

Многочлен P(x) = x³ + ax² + bx + c имеет три различных действительных корня, а многочлен P(Q(x)), где Q(x) = x² + x + 2001, действительных корней не имеет. Докажите, что P(2001) > ¹/₆₄.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109742 (#01.5.10.6)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 108143 (#01.5.10.7)

Темы:	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC взяты точки A1 , B1 , C1 , отличные от точки пересечения высот H , причём сумма площадей треугольников ABC1 , BCA1 , CAB1 равна площади треугольника ABC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1 , проходит через точку H .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]