Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из промежутка  (2²ⁿ, 2³ⁿ)  выбрано  2^2n–1 + 1  нечётное число.
Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109769  (#02.5.9.4)

Темы:   [ Степень вершины ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Правило произведения ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Гидры состоят из голов и шей (каждая шея соединяет ровно две головы). Одним ударом меча можно снести все шеи, выходящие из какой-то головы A гидры. Но при этом из головы A мгновенно вырастает по одной шее во все головы, с которыми A не была соединена. Геракл побеждает гидру, если ему удастся разрубить её на две несвязанные шеями части. Найдите наименьшее N, при котором Геракл сможет победить любую стошеюю гидру, нанеся не более чем N ударов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109770  (#02.5.9.5)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Метод координат на плоскости ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109771  (#02.5.9.6)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Имеются одна красная и k  (k > 1)  синих ячеек, а также колода из 2n карт, занумерованных числами от 1 до 2n. Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу. При каком наибольшем n можно такими операциями переложить всю колоду в одну из синих ячеек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108136  (#02.5.9.7)

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём  2∠MON = ∠AOC.  Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109773  (#02.5.9.8)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Из промежутка  (2²ⁿ, 2³ⁿ)  выбрано  2^2n–1 + 1  нечётное число.
Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями