Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]

Задача 110155 (#04.4.10.5)

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Уравнение xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа a_n–1 и a_n взаимно просты.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110156 (#04.4.10.6)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Токарев С.И.

Набор пятизначных чисел {N₁ , N_k} таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел N₁ , N_k . Найдите наименьшее возможное значение k .

Прислать комментарий Решение

Задача 110157 (#04.4.10.7)

Темы:	[	Производная и кратные корни	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Окружности σ ₁ и σ ₂ пересекаются в точках A и B . В точке A к σ ₁ и σ ₂ проведены соответственно касательные l₁ и l₂ . Точки T₁ и T₂ выбраны соответственно на окружностях σ ₁ и σ ₂ так, что угловые меры дуг T₁A и AT₂ равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная t₁ в точке T₁ к окружности σ ₁ пересекает l₂ в точке M₁ . Аналогично, касательная t₂ в точке T₂ к окружности σ ₂ пересекает l₁ в точке M₂ . Докажите, что середины отрезков M₁M₂ находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек T₁ , T₂ .

Прислать комментарий Решение

Задача 110158 (#04.4.10.8)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Даны натуральные числа p<k<n . На бесконечной клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в любом прямоугольнике (k+1)×n ( n клеток по горизонтали, k+1 – по вертикали) отмечено ровно p клеток. Докажите, что существует прямоугольник k×(n+1) (где n+1 клетка по горизонтали, k – по вертикали), в котором отмечено не менее p+1 клетки.

Прислать комментарий Решение

Задача 110147 (#04.4.11.1)

Темы:	[	Лингвистика	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Волченков С.Г.

В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное k , для которого можно выбрать k различных слов, в записи которых используется ровно k различных букв.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]