Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]

Задача 111780 (#07.4.9.3)

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Волченков С.Г.

25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили забавную закономерность. Если выбрать любую группу не меньше чем из 10 мальчиков, а потом добавить к ним всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в получившейся группе число мальчиков окажется на 1 меньше, чем число девочек. Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111781 (#07.4.9.4)

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

У двух треугольников равны наибольшие стороны и равны наименьшие углы. Строится новый треугольник со сторонами, равными суммам соответствующих сторон данных треугольников (складываются наибольшие стороны двух треугольников, средние по длине стороны и наименьшие стороны). Докажите, что площадь нового треугольника не меньше удвоенной суммы площадей исходных.

Прислать комментарий Решение

Задача 111790 (#07.4.9.5)

Тема:

[

Взвешивания

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Рубанов И.С.

Среди 11 внешне одинаковых монет 10 настоящих, весящих по 20 г, и одна фальшивая, весящая 21 г. Имеются чашечные весы, которые оказываются в равновесии, если груз на правой их чашке ровно вдвое тяжелее, чем на левой. (Если груз на правой чашке меньше, чем удвоенный груз на левой, то перевешивает левая чашка, если больше, то правая.) Как за три взвешивания на этих весах найти фальшивую монету?

Прислать комментарий Решение

Задача 111783 (#07.4.9.6)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	ГМТ и вписанный угол	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Емельянов Л.А.

На стороне BC треугольника ABC выбрана произвольная точка D . В треугольники ABD и ACD вписаны окружности с центрами K и L соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников BKD и CLD вторично пересекаются на фиксированной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 111784 (#07.4.9.7)

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Сендеров В.А.

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб натурального числа.
Докажите, что она содержит и точный куб, не являющийся точным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]