Версия для печати
Убрать все задачи

---

Игровое поле представляет собой горизонтальную полоску размером 1×100 клеток. В самой левой клетке стоит фишка. Двое по очереди двигают фишку вправо, причём за один ход разрешается сдвинуть фишку вправо на расстояние от 1 до 10 клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (то есть перед его ходом фишка находится в самой правой клетке). Кто выиграет при правильной игре?

   Решение

---

На плоскости дано n>4 точек. Известно, что любые 4 из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти n точек являются вершинами выпуклого n-угольника.

   Решение

---

(В. Баур, Ф.Штрассен) Дана программа вычисления значения некоторого многочлена P(x₁,..., x_n), содержащая только команды присваивания. Их правые части — выражения, содержащие сложение, умножение, константы, переменные x₁,..., x_n и ранее встречавшиеся (в левой части) переменные. Доказать, что существует программа того же типа, вычисляющая все n производных P/x₁,...,P/x_n, причём общее число арифметических операций не более чем в C раз превосходит число арифметических операций в исходной программе. Константа C не зависит от n.

   Решение

---

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111806  (#08.4.11.5)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111799  (#08.4.11.6)

Темы:   [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что  ∠AKB = ∠ADC.  Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111800  (#08.4.11.7)

Тема:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Числа x₁, x₂, ..., x_n таковы, что  x₁ ≥ x₂ ≥ ... ≥ x_n ≥ 0  и     Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111801  (#08.4.11.8)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Раскраски ] [ Подсчет двумя способами ] [ Задачи с ограничениями ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями