Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 115417 (#06.4.9.6)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Необычные конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115418 (#06.4.9.7)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9

Автор: Женодаров Р.Г.

Восемь клеток одной диагонали шахматной доски назовём забором. Ладья ходит по доске, не наступая на одну и ту же клетку дважды и не наступая на клетки забора (промежуточные клетки не считаются посещёнными). Какое наибольшее число прыжков через забор может совершить ладья?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115419 (#06.4.9.8)

Темы:	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Треугольник (построения)	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Терешин Д.А.

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A₂B₂C₂, равный треугольнику A₁B₁C₁ и такой, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ будут параллельны?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115404 (#06.4.10.1)

Тема:

[

Свойства коэффициентов многочлена

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Сендеров В.А.

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен (ax + b)¹⁰⁰⁰ – (cx + d)¹⁰⁰⁰ после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115413 (#06.4.10.2)

Темы:	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Емельянов Л.А.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BD (точка D лежит на отрезке AC ). Прямая BD пересекает окружность Ω , описанную около треугольника ABC , в точках B и E . Окружность ω , построенная на отрезке DE как на диаметре, пересекает окружность Ω в точках E и F . Докажите, что прямая, симметричная прямой BF относительно прямой BD , содержит медиану треугольника ABC .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]