Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Докажите, что    где a₀, ..., a_n – рациональные числа.

б) Найдите эти представления в явном виде для  n = 2, 3, 4, 5.

в) Выразите sinⁿx при чётном n в виде    а при нечётном – в виде  

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115897  (#9.1)

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вневписанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115898  (#9.2)

Темы:   [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через R_a, R_b, R_c и R_d радиусы описанных окружностей треугольников DAB, ABC, BCD, CDA. Докажите, что неравенство  R_a < R_b < R_c < R_d  выполняется тогда и только тогда, когда  180° – ∠CDB < ∠CAB < ∠CDB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115899  (#9.3)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115900  (#9.4)

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Средняя линия треугольника ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Дан правильный 17-угольник A₁... A₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A₁A₄, A₂A₁₀, A₁₃A₁₄ и A₂A₃, A₄A₆, A₁₄A₁₅, равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115901  (#9.5)

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На окружности отметили n точек. Оказалось, что среди треугольников с вершинами в этих точках ровно половина остроугольных.
Найдите все значения n, при которых это возможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями