Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]

Задача 116081

Темы:	[	Построение треугольников по различным элементам	]
Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Постройте треугольник по стороне, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. (Исследование проводить не требуется.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 116086

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Протасов В.Ю.

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной BC на прямую AC, проходит через центр вписанной окружности треугольника A₁CB₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116082

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Экстремальные свойства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Френкин Б.Р.

В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116087

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Терешин Д.А.

На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C₁ – более удалённая от вершины C точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM₁ и BM₂. Точки A₁ и B₁ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116083

Темы:	[	Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее)	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Автор: Кожевников П.А.

Фиксированы две окружности w₁ и w₂, одна их внешняя касательная l и одна их внутренняя касательная m. На прямой m выбирается точка X, а на прямой L строятся точки Y и Z так, что XY и XZ касаются w₁ и w₂ соответственно, а треугольник XYZ содержит окружности w₁ и w₂. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники XYZ, лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]