Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 116639 (#10.2)

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Предел функции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов: x² + a₁x + b₁, x² + a₂x + b₂, ..., x² + a₉x + b₉. Известно, что последовательности a₁, a₂, ..., a₉ и b₁, b₂, ..., b₉ – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116640 (#10.3)

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Дольников В.Л.

Назовём компанию k-неразбиваемой, если при любом разбиении её на k групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая – 1-неразбиваемая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116647 (#11.2)

Темы:	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянова Т.

На стороне BC параллелограмма ABCD (∠A < 90°) отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок).

Докажите, что ортоцентр треугольника O₁O₂O₃ лежит на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116648 (#11.3)

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Магазинов А.

В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116633 (#9.4)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Существуют ли три взаимно простых в совокупности натуральных числа, квадрат каждого из которых делится на сумму двух оставшихся?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]