На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

   Решение

Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4R.

   Решение

Найти все такие тройки простых чисел x, y, z, что  19x − yz = 1995.

   Решение

Докажите, что числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению   C_n = C₀C_n–1 + C₁C_n–2 + ... + C_n–1C₀.
Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

   Решение

Найдите уравнение гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.

   Решение

Докажите, что количество треугольников, на которые непересекающиеся диагонали разбивают n-угольник, равно n - 2.

   Решение

Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

Прислать комментарий

Решение

Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках?

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что описанная окружность треугольника ABC является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.
б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.

Прислать комментарий

Решение

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что треугольники ABC, HBC, AHC и ABH имеют общую окружность девяти точек.
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников  ABC, HBC, AHC и ABH пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников  ABC, HBC, AHC и ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику HABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]