ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 10. Неравенства >> параграф 3. Выпуклость
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Заславский А.А.

Окружность Ω1 проходит через центр окружности Ω2. Из точки C, лежащей на Ω1, проведены касательные к Ω2, вторично пересекающие Ω1 в точках A и B. Докажите, что отрезок AB перпендикулярен линии центров окружностей.

Вниз   Решение

Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x1, x2 из [a;b] и любых положительных $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$ таких, что $ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ = 1 выполняется неравенство:

f$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$x2$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$f (x2).


Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

  с решениями  

Задача 61406  (#10.055)

Тема:   [ Выпуклость и вогнутость ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x1, x2 из [a;b] и любых положительных $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$ таких, что $ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ = 1 выполняется неравенство:

f$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$x2$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$f (x2).


Прислать комментарий     Решение

Задача 61407  (#10.056)

Тема:   [ Выпуклость и вогнутость ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x1, x2, ..., xn ( n $ \geqslant$ 2) из [a;b] и любых положительных $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$, ..., $ \alpha_{n}^{}$ таких, что $ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ +...+ $ \alpha_{n}^{}$ = 1, выполняется неравенство:

f ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$xn) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$f (xn).


Прислать комментарий     Решение

Задача 61408  (#10.057)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Выпуклость и вогнутость ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что для любых x1,..., xn $ \in$ [0; $ \pi$] справедливо неравенство:

sin$\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right.$$\displaystyle {\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right)$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\sin x_1+\ldots+ \sin x_n}{n}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61409  (#10.058)

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Выпуклость и вогнутость ]
[ Неравенство Иенсена ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите неравенства:
  а)   n(x1 + ... + xn) ≥ ( + ... + )²
  б)   ≤ + ... + ;
  в)  

  г)     (неравенство Минковского).
  Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61410  (#10.059)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если  x + y + z = 6,  то  x² + y² + z² ≥ 12.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .