Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 76]

Задача 61407 (#10.056)

Тема:

[

Выпуклость и вогнутость

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x₁, x₂, ..., x_n ( n $\geqslant$ 2) из [a;b] и любых положительных $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{n}^{}$ таких, что $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = 1, выполняется неравенство:

f ( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ x_n) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ f (x₁) +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ f (x_n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61408 (#10.057)

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
Темы:	[	Выпуклость и вогнутость	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что для любых x₁,..., x_n $\in$ [0; $\pi$ ] справедливо неравенство:

sin $\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right.$ $\displaystyle {\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right)$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\sin x_1+\ldots+ \sin x_n}{n}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61409 (#10.058)

Темы:	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Выпуклость и вогнутость	]
	[	Неравенство Иенсена	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите неравенства:
а) n(x₁ + ... + x_n) ≥ ( + ... + )²
б) ≤ + ... + ;
в)

г) (неравенство Минковского).
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61410 (#10.059)

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если x + y + z = 6, то x² + y² + z² ≥ 12.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61411 (#10.060)

[Неравенство Гёльдера]

Темы:	[	Классические неравенства	]
Темы:	[	Неравенство Иенсена	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть p и q – положительные числа, причём ¹/_p + ¹/_q = 1. Докажите, что
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 76]