Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]

Задача 64735 (#9.2)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Взаимное расположение двух окружностей	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Автор: Акопян А.В.

Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 64743 (#10.2)

Темы:	[	Взаимное расположение двух окружностей	]
Темы:	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω₁, а прямые AC, BC касаются ω₂.
Докажите, что cos∠A + cos∠B = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65003 (#2)

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Швецов Д.В.

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектрисы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA₁B₁. Докажите, что OI ⊥ AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64701 (#8.3)

Темы:	[	Четырехугольники (прочее)	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Авторы: Берлов С.Л., Прокопенко Д.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась такая точка P, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что AB = CD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64736 (#9.3)

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Ясинский В.

На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD – правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]