Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных x верно неравенство   |cos x| + |cos αx| > sin x + sin αx?

   Решение

---

С помощью признака делимости Паскаля (см. задачу 60815) установите признаки делимости на числа 3, 9, 6, 8, 12, 15, 11, 7, 27, 37.

   Решение

---

На плоскости дано n выпуклых попарно пересекающихся k-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы     из этих k-угольников.

   Решение

---

Исходно на доске написаны многочлены  x³ – 3x² + 5  и  x² – 4x.  Если на доске уже написаны многочлены  f(x) и g(x), разрешается дописать на неё многочлены  f(x) ± g(x),  f(x)g(x),  f(g(x))  и  cf(x),  где c – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида  xⁿ – 1  (при натуральном n)?

   Решение

---

Точка M – середина стороны AC остроугольного треугольника ABC, в котором  AB > BC.  Касательные к описанной окружности Ω треугольника ABC, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке P. Отрезки BP и AC пересекаются в точке S. Пусть AD – высота треугольника BP. Описанная окружность ω треугольника CSD второй раз пересекает окружность Ω в точке K. Докажите, что  ∠CKM = 90°.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64761  (#9.1)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза.
Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64762  (#9.2)

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Серёжа выбрал два различных натуральных числа a и b. Он записал в тетрадь четыре числа:  a,  a + 2,  b и  b + 2.  Затем он выписал на доску все шесть попарных произведений чисел из тетради. Какое наибольшее количество точных квадратов может быть среди чисел на доске?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64763  (#9.3)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Индукция в геометрии ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В выпуклом n-угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется хорошей, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64764  (#9.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Точка M – середина стороны AC остроугольного треугольника ABC, в котором  AB > BC.  Касательные к описанной окружности Ω треугольника ABC, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке P. Отрезки BP и AC пересекаются в точке S. Пусть AD – высота треугольника BP. Описанная окружность ω треугольника CSD второй раз пересекает окружность Ω в точке K. Докажите, что  ∠CKM = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64765  (#9.5)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями