Версия для печати
Убрать все задачи

---

На столе лежала кучка серебряных монет. Каждым действием либо добавляли одну золотую монету и записывали количество серебряных монет на первый листок, либо убирали одну серебряную монету и записывали количество золотых монет на второй листок. В итоге на столе остались только золотые монеты. Докажите, что в этот момент сумма всех чисел на первом листке равнялась сумме всех чисел на втором.

   Решение

Страница: << 170 171 172 173 174 175 176 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64842

Темы:   [ Композиции поворотов ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Вершины треугольника обозначены буквами A, B, C по часовой стрелке. Треугольник последовательно поворачивают по часовой стрелке: сначала вокруг вершины A на угол, равный углу A, потом – вокруг вершины B на угол, равный углу B, и так далее по циклу (каждый раз поворот делают вокруг текущего положения очередной вершины). Докажите, что после шести поворотов треугольник займёт исходное положение.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64843

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64844

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Даны N прямоугольных треугольников  (N > 1).  У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что все исходные треугольники подобны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64845

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На столе лежала кучка серебряных монет. Каждым действием либо добавляли одну золотую монету и записывали количество серебряных монет на первый листок, либо убирали одну серебряную монету и записывали количество золотых монет на второй листок. В итоге на столе остались только золотые монеты. Докажите, что в этот момент сумма всех чисел на первом листке равнялась сумме всех чисел на втором.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64849

Темы:   [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял номер 2, за номером 2 стоял номер 3, ..., за номером 25 стоял номер 1. Докажите, что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своём посту.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 170 171 172 173 174 175 176 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями