Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]

Задача 65038 (#12)

Темы:	[	Построения (прочее)	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Ясинский В.

Пусть AP и BQ – высоты данного остроугольного треугольника ABC. Постройте циркулем и линейкой на стороне AB точку M так, чтобы
∠AQM = ∠BPM.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65039 (#13)

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Центр масс (прочее)	]
	[	Центр масс	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Френкин Б.Р.

а) Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).

б) Найдите геометрическое место центров тяжести тетраэдров, вершины которых лежат на гранях данного тетраэдра (по одной вершине внутри каждой грани).

Прислать комментарий

Решение

Задача 65040 (#14)

Темы:	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Френкин Б.Р.

В треугольнике ABC высота и медиана, проведённые из вершины A, образуют (вместе с прямой BC) треугольник, в котором биссектриса угла A является медианой, а высота и медиана, проведённые из вершины B, образуют (вместе с прямой AC) треугольник, в котором биссектриса угла B является биссектрисой. Найдите отношение сторон треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65041 (#15)

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Протасов В.Ю.

Дана окружность с центром O и радиусом 1. Из точки A к ней проведены касательные AB и AC. Точка M, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники OBMC и ABMC имеют равные площади. Найдите MA.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65042 (#16)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Долгирев П.

Дан треугольник ABC и прямая l. Прямые, симметричные l относительно AB и AC пересекаются в точке A₁. Точки B₁, C₁ определяются аналогично. Докажите, что
а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
б) эта точка лежит на описанной окружности треугольника ABC ;
в) точки, построенные указанным способом для двух перпендикулярных прямых, диаметрально противоположны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]