Версия для печати
Убрать все задачи

---

Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $P$ – произвольная точка внутри (и не на сторонах) треугольника $ABC$, лежащая на описанной окружности треугольника $ABH$, и $A'$, $B'$, $C'$ – проекции точки $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Докажите, что описанная окружность треугольника $A'B'C'$ проходит через середину отрезка $CP$.

   Решение

---

Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что  ∠AMD + ∠BMC = 180°.

   Решение

---

На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через $3$ часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через $4$ часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?

   Решение

---

За круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65091

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN.  Докажите, что  АР = ВС.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65093

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

За круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65094

Темы:   [ Задачи на смеси и концентрации ] [ Процессы и операции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Имеются три литровых банки и мерка объемом 100 мл. Первая банка пуста, во второй – 700 мл сладкого чая, в третьей – 800 мл сладкого чая. При этом во второй банке растворено 50 г сахара, а в третьей – 60 г сахара. Разрешается набрать из любой банки полную мерку чая и перелить весь этот чай в любую другую банку. Можно ли несколькими такими переливаниями добиться, чтобы первая банка была пуста, а количество сахара во второй банке равнялось количеству сахара в третьей банке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65095

Темы:   [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором  AB = CD,  выбрана точка P таким образом, что сумма углов PBA и PCD равна 180°.
Докажите, что  PB + PC < AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65098

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

По окружности записали красным пять несократимых дробей с нечётными знаменателями, большими 10¹⁰. Между каждыми двумя соседними красными дробями вписали синим несократимую запись их суммы. Могло ли случиться, что у синих дробей все знаменатели меньше 100?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями