Версия для печати
Убрать все задачи

---

В неравнобедренном треугольнике ABC провели биссектрисы угла ABC и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую AC в точках B₁ и B₂ соответственно. Из точек B₁ и B₂ провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник ABC, отличные от прямой AC. Они касаются ω в точках K₁ и K₂ соответственно. Докажите, что точки B, K₁ и K₂ лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65126  (#11.2)

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65113  (#9.3)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Инварианты ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа  n, n + 1, ..., n + 8.  При каких n он сможет это сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65121  (#10.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть AL – биссектриса треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезкуAL пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC, в точках P и Q. Докажите, что описанная окружность треугольника PLQ, касается стороны BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65127  (#11.3)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Продолжения медиан AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A₀, B₀ и C₀ соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC₀, AB₀C и A₀BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65114  (#9.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В неравнобедренном треугольнике ABC провели биссектрисы угла ABC и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую AC в точках B₁ и B₂ соответственно. Из точек B₁ и B₂ провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник ABC, отличные от прямой AC. Они касаются ω в точках K₁ и K₂ соответственно. Докажите, что точки B, K₁ и K₂ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями