Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А₁, В₁ и С₁ точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ₁С₁, А₁ВС₁, А₁В₁С, обозначив меньшую через S₁, среднюю – S₂, а большую – S₃. Докажите, что     где S – площадь треугольника А₁В₁С₁.

   Решение

---

Дан треугольник ABC, все углы которого меньше φ, где  φ < ^2π/₃.
Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника ABC видны под углом φ.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115733

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

При каком наименьшем n существует выпуклый n-угольник, у которого синусы всех углов равны, а длины всех сторон различны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115734

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Имеются две параллельные прямые p₁ и p₂. Точки A и B лежат на p₁, а C – на p₂. Будем перемещать отрезок BC параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники ABC, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:
  а) точками пересечения высот;
  б) точками пересечения медиан;
  в) центрами описанных окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115735

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Сторону AB треугольника ABC разделили на n равных частей (точки деления  B₀ = A,  B₁, B₂,  B_n = B),  а сторону AC этого треугольника разделили на
n + 1  равных частей (точки деления  C₀ = A,  C₁, C₂, ..., C_n+1 = C).  Закрасили треугольники C_iB_iC_i+1. Какая часть площади треугольника закрашена?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115738

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65931

Темы:   [ Метод ГМТ в пространстве ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дан треугольник ABC, все углы которого меньше φ, где  φ < ^2π/₃.
Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника ABC видны под углом φ.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями