Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник АВС и две прямые l₁, l₂. Через произвольную точку D на стороне АВ проводится прямая, параллельная l₁, пересекающая АС в точке Е, и прямая, параллельная l₂, пересекающая ВС в точке F. Построить точку D, для которой отрезок EF имеет наименьшую длину.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65934

Темы:   [ Четырехугольники (построения) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Экстремальные свойства (прочее) ] [ Движение помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник АВС и две прямые l₁, l₂. Через произвольную точку D на стороне АВ проводится прямая, параллельная l₁, пересекающая АС в точке Е, и прямая, параллельная l₂, пересекающая ВС в точке F. Построить точку D, для которой отрезок EF имеет наименьшую длину.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65935

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Центр масс ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А₁, В₁ и С₁ точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ₁С₁, А₁ВС₁, А₁В₁С, обозначив меньшую через S₁, среднюю – S₂, а большую – S₃. Докажите, что     где S – площадь треугольника А₁В₁С₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65937

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

В остроугольном неравностороннем треугольнике отметили четыре точки: центры вписанной и описанной окружностей, точку пересечения медиан и ортоцентр. Затем сам треугольник стерли. Оказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65938

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Построения одной линейкой ] [ Окружность Аполлония ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

В треугольник АВС вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Одной линейкой постройте точку К, в которой окружность, проходящая через вершины В и С, касается (внутренним образом) вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65941

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Теорема косинусов ] [ Формула Эйлера ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, A', B', C', D' – центры описанных сфер тетраэдров IBCD, ICDA, IDBA, IABC соответственно.
Докажите, что описанная сфера тетраэдра ABCD целиком лежит внутри описанной сферы тетраэдра A'B'C'D'.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями