Версия для печати
Убрать все задачи

---

Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65789  (#1)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, в которой  AB = BD.  Пусть M – середина стороны DС. Докажите, что  ∠MBC = ∠BCA.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66252  (#8.1)

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В треугольнике ABC высота AH делит медиану BM пополам.
Докажите, что из медиан треугольника ABM можно составить прямоугольный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66260  (#9.1)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника BOC в точке O, пересекает луч CB в точке F. Описанная окружность треугольника FOD повторно пересекает прямую BC в точке G. Докажите, что  AG = AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66268  (#10.1)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65790  (#2)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На клетчатой бумаге отметьте три узла так, чтобы в образованном ими треугольнике сумма двух меньших медиан равнялась полупериметру.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями