Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]

Задача 78006

Темы:	[	Четырехугольник (неравенства)	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC. Пусть A₁, B₁, C₁ — точки пересечения прямых AS, BS, CS соответственно со сторонами BC, CA, AB треугольника, где S — произвольная внутренняя точка треугольника ABC. Доказать, что, по крайней мере, в одном из полученных четырёхугольников AB₁SC₁, C₁SA₁B, A₁SB₁C углы при вершинах C₁, B₁, или C₁, A₁, или A₁, B₁ &8212; одновременно оба неострые.

Прислать комментарий Решение

Задача 78012

Тема:

[

Системы линейных уравнений

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Решить систему:

10x₁ + 3x₂ + 4x₃ + x₄ + x₅ = 0,
11x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 3x₅ + x₆ = 0,
15x₃ + 4x₄ + 5x₅ + 4x₆ + x₇ = 0,
2x₁ + x₂ – 3x₃ + 12x₄ – 3x₅ + x₆ + x₇ = 0,
6x₁ – 5x₂ + 3x₃ – x₄ + 17x₅ + x₆ = 0,
3x₁ + 2x₂ – 3x₃ + 4x₄ + x₅ – 16x₆ + 2x₇ = 0,
4x₁ – 8x₂ + x₃ + x₄ – 3x₅ + 19x₇ = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78014

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Функция Мебиуса	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Дано число H = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37 (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., H – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78016

Тема:

[

Окружность Ферма-Аполлония

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

На двух лучах l₁ и l₂, исходящих из точки O, отложены отрезки OA₁ и OB₁ на луче l₁ и OA₂ и OB₂ на луче l₂; при этом ${\frac{OA_1}{OA_2}}$ $\ne$ ${\frac{OB_1}{OB_2}}$ . Определить геометрическое место точек S пересечения прямых A₁A₂ и B₁B₂ при вращении луча l₂ около точки O (луч l₁ неподвижен).

Прислать комментарий Решение

Задача 78017

Темы:	[	Геометрические неравенства	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Даны четыре прямые m₁, m₂, m₃, m₄, пересекающиеся в одной точке O. Через произвольную точку A₁ прямой m₁ проводим прямую, параллельную прямой m₄, до пересечения с прямой m₂ в точке A₂, через A₂ проводим прямую, параллельную m₁, до пересечения с m₃ в точке A₃, через A₃ проводим прямую, параллельную m₂, до пересечения с m₄ в точке A₄ и через точку A₄ проводим прямую, параллельную m₃, до пересечения с m₁ в точке B. Доказать, что OB $\le$ ${\frac{OA_1}{4}}$ (см. рис.).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]