Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78135 (#1)

Темы:	[	Треугольники (прочее)	]
	[	Векторы (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Внутри треугольника ABC взята точка O. На лучах OA, OB и OC построены векторы единичной длины.
Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78136 (#2)

Темы:	[	Квадратные уравнения и системы уравнений	]
	[	Квадратные уравнения. Формула корней	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Доказать, что если уравнения с целыми коэффициентами x² + p₁x + q₁, x² + p₂x + q₂ имеют общий нецелый корень, то p₁ = p₂ и q₁ = q₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78137 (#3)

Тема:

[

Правильный (равносторонний) треугольник

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

На круглой поляне радиуса R растут три круглые сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся на расстоянии ${\frac{R}{2}}$ от центра поляны в вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?

Прислать комментарий Решение

Задача 78138 (#4)

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
Темы:	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Решить в натуральных числах уравнение

Прислать комментарий

Решение

Задача 78139 (#5)

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Проекции многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3 $\sqrt{2}$ , 5, 4 $\sqrt{2}$ . Площадь многоугольника — S. Доказать, что S $\le$ 17, 5.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]