Страница: << 123 124 125 126 127 128 129 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98282

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число?
б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98284

Темы:   [ Экстремальные свойства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

На плоскости даны три точки A, B, C. Через точку C проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до A и B было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98294

Темы:   [ Ломаные ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.
  а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения.
  б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98295

Тема:   [ Симметричная стратегия ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Двое играют в крестики-нолики на доске 10×10 по следующим правилам. Сначала они заполняют крестиками и ноликами всю доску, ставя их по очереди (начинающий игру ставит крестики, его партнер – нолики). Затем подсчитываются два числа: K – число пятерок подряд стоящих крестиков и H – число пятерок подряд стоящих ноликов. (Считаются пятерки, стоящие по горизонтали, по вертикали и параллельно диагонали; если подряд стоят шесть крестиков, то это даёт две пятерки, если семь, то три и т. д.) Число  K – H  считается выигрышем первого игрока (проигрышем второго).
  а) Существует ли у первого игрока беспроигрышная стратегия?
  б) Существует ли у него выигрышная стратегия?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98296

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Теорема косинусов ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Положительные числа a, b, c таковы, что  a² + b² – ab = c².  Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 123 124 125 126 127 128 129 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями