Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109823  (#05.5.10.1)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Алгоритм Евклида ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде   ,   где a, b, c, d – натуральные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109824  (#05.5.10.2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила  ⁿ⁺¹/₄.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109825  (#05.5.10.3)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Процессы и операции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109826  (#05.5.10.4)

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Периметр треугольника ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Окружности σ_B, σ_C – вневписанные для треугольника ABC (касаются соответственно сторон AC и AB и продолжений двух других сторон). Окружность ω_B симметрична σ_B относительно середины стороны AC, окружность ω_C симметрична σ_C относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω_B и ω_C, делит периметр треугольника ABC пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109827  (#05.5.10.5)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

В некоторые 16 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями