Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 115370 (#06.4.9.6)

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть точки A , B , C лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке B . Из точки P , лежащей на прямой b , опущены перпендикуляры PA₁ и PC₁ на прямые AB и BC соответственно (точки A₁ и C₁ лежат на отрезках AB и BC ). Докажите, что A₁C₁ AC .

Прислать комментарий Решение

Задача 115371 (#06.4.9.7)

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Степень вершины	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Волченков С.Г.

В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115372 (#06.4.9.8)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Шарич В.

Для каждого натурального n обозначим через S_n сумму первых n простых чисел: S₁ = 2, S₂ = 2 + 3 = 5, S₃ = 2 + 3 + 5 = 10, ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (S_n) оказаться квадратами натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115357 (#06.4.10.1)

Темы:	[	Задачи на движение	]
Темы:	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Авторы: Волченков С.Г., Богданов И.И.

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 115367 (#06.4.10.2)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

Можно ли при каком-то натуральном k разбить все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]