Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 64812 (#10.1)

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Проекция на прямую (прочее)	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Френкин Б.Р.

Вершины равнобедренного треугольника и центр его описанной окружности лежат на четырёх различных сторонах квадрата.
Найдите углы треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64813 (#10.2)

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Зерцалов А., Скробот Д.

Даны окружность, её хорда AB и середина W меньшей дуги AB. На большей дуге AB выбирается произвольная точка C. Касательная к окружности, проведённая из точки C, пересекает касательные, проведённые из точек A и B, в точках X и Y соответственно. Прямые WX и WY пересекают прямую AB в точках N и M соответственно. Докажите, что длина отрезка NM не зависит от выбора точки C.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64863 (#10.3)

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Блинков А.Д.

Верно ли, что существуют выпуклые многогранники с любым количеством диагоналей? (Диагональю называется отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий на его поверхности.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 64858 (#10.4)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Прямая Симсона	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Гаркавый А., Соколов А.

Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Аналогично определяются точки B_a, B_c, C_a и C_b. Точку D назовём хорошей, если точки A_b, A_c, B_a, B_c, C_a и C_b лежат на одной окружности.
Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64859 (#10.5)

Темы:	[	Построение треугольников по различным точкам	]
	[	Гомотетия: построения и геометрические места точек	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Заславский А.А.

В треугольнике провели высоту из одной вершины, биссектрису из другой и медиану из третьей, отметили точки их попарного пересечения, а затем всё, кроме этих отмеченных точек, стерли (три отмеченные точки различны, кроме того, известно, какая является чьим пересечением). Восстановите треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]