Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 66012 (#9.1)

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66013 (#9.2)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Вася задумал восемь клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску восемь ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, чётно (то есть 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66014 (#9.3)

Темы:	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Сендеров В.А.

Существует ли треугольник, для сторон x, y, z которого выполнено соотношение x³ + y³ + z³ = (x + y)(y + z)(z + x)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66015 (#9.4)

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Акопян А.В., Кожевников П.А.

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается ω. Окружность Ω_b с центром P проходит через вершину B, а окружность Ω_c с центром Q – через C. Докажите, что окружности Ω, Ω_b и Ω_c имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66016 (#9.5)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Подлипский О.К.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица сложения"). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]