классы:
-
8 класс
(6 задач)
9 класс
(6 задач)
10 класс
(6 задач)
11 класс. Первый день
(6 задач)
11 класс. Второй день
(5 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$ – в точке $Q$. Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$, где $r_1$ и $r_2$ – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.
Будем называть натуральное число $N$ сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(f(f(N))) = 0$, а $f(N)$ и $f(f(N))$ не равны 0. Верно ли, что все числа, большие $20^{24}$, сильно кубические?
На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из 99 карточек называется неудачной, если для каждого натурального $k$ от 1 до 99 сумма чисел на верхних $k$ карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?
У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 4, \ldots, \ln 20$, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Точки $M$ и $N$ – середины отрезков $BH$ и $CH$. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно, равноудалена от точек $B$ и $C$.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
Задача 67313 (#4) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67314 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67309 (#6) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67315 (#1) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67316 (#2) |
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
