Страница:
<< 35 36 37 38
39 40 41 >> [Всего задач: 328]
Докажите, что существует граф с 2n вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2, ..., n, n.
Какое из чисел 
(10 двоек) или 
(9 троек) больше? А если троек не 9, а 8?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что число 
делится на 2k и не делится на 2k+1.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Имеется два стакана, в первом стакане налито некоторое количество воды, а во втором – такое же количество спирта. Разрешается переливать некоторое количество жидкости из одного стакана в другой (при этом раствор равномерно перемешивается). Можно ли с помощью таких операций получить в первом стакане раствор, в котором процентное содержание спирта больше, чем во втором?
|
[Алгоритм Евклида]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
а) Пусть m0 и m1 – целые числа, 0 < m1 ≤ m0.
Докажите, что при некотором k > 1 существуют такие целые числа a0, a1, ..., ak и m2, ..., mk, что
m1 > m2 > m3 > ... > mk > 0, ak > 1,
m0 = m1a0 + m2,
m1 = m2a1 + m3,
m2 = m3a2 + m4,
...
mk–2 = mk–1ak–1 + mk,
mk–1 = mkak,
и (m0, m1) = mk.
б) Докажите, что для любого s от k – 1 до 0 существуют такие числа us, vs, что msus + ms+1vs = d, где d = (m0, m1).
В частности, для некоторых u и v выполняется равенство m0u + m1v = d.
Страница:
<< 35 36 37 38
39 40 41 >> [Всего задач: 328]
Фильтр
