Версия для печати
Убрать все задачи
Точки M и N лежат на сторонах соответственно AD и BC ромба
ABCD, причём
DM : AM = BN : NC = 2 : 1. Найдите MN, если известно, что
сторона ромба равна a, а
BAD = 60o.
Решение
Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что четыре угла квадрата являются углами четырёх прямоугольников, площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.
Решение
Пусть $I$ – центр сферы, вписанной в тетраэдр $ABCD$, а $J$ – центр сферы, касающейся грани $BCD$ и плоскостей остальных граней (вне самих граней). Отрезок $IJ$ пересекает сферу, описанную около тетраэдра, в точке $K$. Что больше: $IK$ или $JK$?
Решение
Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: AEF, BGH, CIJ, DKL (EF, GH, IJ, KL – дуги окружности). Докажите, что
а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL;
б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.
Решение
Фильтр
