Страница:
<< 18 19 20 21
22 23 24 >> [Всего задач: 328]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что при всех натуральных n число f (n) = 22n–1 – 9n² + 21n – 14 делится на 27.
Петя увидел на доске несколько различных чисел и решил составить выражение, среди значений которого все эти числа есть, а других нет. Составляя выражение, Петя может использовать какие угодно числа, особый знак "±", а также обычные знаки "+", "–", "×" и скобки. Значения составленного выражения он вычисляет, выбирая для каждого знака "±" либо "+", либо "–" во всех возможных комбинациях. Например, если на доске были числа 4 и 6, подойдёт выражение 5 ± 1, а если на доске были числа 1, 2 и 3, то подойдёт выражение (2 ± 0,5) ± 0,5. Возможно ли составить необходимое выражение, если на доске были написаны
а) числа 1, 2, 4;
б) любые 100 различных действительных чисел?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Первая производная бесконечной последовательности $a_1, a_2$, ... – это последовательность $a'_n = a_{n+1} - a_n$ (где $n$ = 1, 2, ...), а её k-я производная – это первая производная её ($k$–1)-й производной
($k$ = 2, 3, ...). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2$, ... и $b_1, b_2$, ... – хорошие последовательности, то и $a_1b_1, a_2b_2$, ... – хорошая последовательность.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Дано n точек, n > 4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в любую другую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).
Страница:
<< 18 19 20 21
22 23 24 >> [Всего задач: 328]
Фильтр
