Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 366]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109529

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5ⁿ равна 2ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60655

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Натуральные числа m и n таковы, что  m > n,  m не делится на n и имеет от деления на n тот же остаток, что и  m + n  от деления на  m – n.
Найдите отношение  m : n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60724

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в целых числах:
  а)  x² + y² = 2003;
  б)  12x + 5 = y²;
  в)   – x² + 7y³ + 6 = 0;
  г)  x² + y² + z² = 1999;
  д)  15x² – 7y² = 9;
  е)  x² – 5y + 3 = 0;
  ж)   
  з)  8x³ – 13y³ = 17.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60819

Темы:   [ Признаки делимости (прочее) ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что если необходимый и достаточный признак делимости, выражающийся через свойства цифр числа, не зависит от порядка цифр, то это признак делимости на 3 или на 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61493

Темы:   [ Производящие функции ] [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Пусть a_n – число решений уравнения  x₁ + ... + x_k = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
  б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 366]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями