Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вершина S пирамиды SABC находится на расстоянии 4 от центра сферы радиуса 1, которая проходит через точки A , B и C и пересекает ребра SA , SB , SC соответственно в точках A1 , B1 , C1 . Отношение длин отрезков B1C1 и BC равно , отношение площадей треугольников SA1B1 и SAB равно , а отношение объёмов пирамид SA1B1C1 и SABC равно . Найдите длины отрезков SA1 , SB1 , SC1 .

   Решение

---

Точки A , B , C , D , E , F лежат на сфере радиуса . Отрезки AD , BE и CF пересекаются в точке S , находящейся на расстоянии 1 от центра сферы. Объёмы пирамид SABC и SDEF относятся как 1:9, пирамид SABF и SDEC – как 4:9, пирамид SAEC и SDBF – как 9:4. Найдите отрезки SA , SB , SC .

   Решение

---

Противоположные стороны шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что треугольники ACE и BDF равновелики.

   Решение

---

В треугольнике ABC известны стороны BC = a, AC = b, AB = c и площадь S. Биссектрисы BL и AK пересекаются в точке O. Найдите площадь четырёхугольника CKOL.

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  O – точка пересечения диагоналей, а M – середина стороны BC. Прямые MO и AD пересекаются в точке E. Докажите, что  AE : ED = S_ABO : S_CDO.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 98]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109534

Темы:   [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103966

Темы:   [ Раскладки и разбиения ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

В Монголии имеются в обращении монеты в 3 и 5 тугриков. Входной билет в центральный парк стоит 4 тугрика. Как-то раз перед открытием в кассу парка выстроилась очередь из 200 посетителей. У каждого из них, а также у кассира есть ровно 22 тугрика. Докажите, что все посетители смогут купить билет в порядке очереди.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116639

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Предел функции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  x² + a₁x + b₁,  x² + a₂x + b₂,  ...,  x² + a₉x + b₉. Известно, что последовательности  a₁, a₂, ..., a₉  и  b₁, b₂, ..., b₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73609

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Замена переменных ] [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство  p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от  (x – ^a/₂)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98182

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Итерации ] [ Разрывы функций ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке  [–1, 1]  (включая концы), для которой  f(f(x))= – x  при всех x?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 98]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями