ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Площадь >> Площадь треугольника. >> Формула Герона
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для него справедлива теорема синусов (8.7 ) и две теоремы косинусов (8.6 ), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства

cos$\displaystyle \alpha$ = cos$\displaystyle \beta$cos$\displaystyle \gamma$ + sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$cos A,
cos$\displaystyle \beta$ = cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \gamma$ + sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \gamma$cos B,
cos$\displaystyle \gamma$ = cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$cos C,
(8.6)

и, кроме того, величины $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ и A, B, C заключены между 0 и $ \pi$. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$. (8.7)


   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 62]      

  с решениями  

Задача 61248

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов ]
[ Формула Герона ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона. Докажите, что из системы (8.6 ) следуют равенства

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos$\displaystyle \alpha$,
cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos$\displaystyle \beta$,
cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos$\displaystyle \gamma$,
tg $\displaystyle {\dfrac{A+B+ C-\pi}{4}}$ = $\displaystyle \sqrt{\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\alpha}{2} \hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\beta}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\gamma}{2}}$,
(8.8)

где 2p = $ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64659

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Формула Герона ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно по прямой разрезать на два меньших многоугольника с равными периметрами и
  а) равными наибольшими сторонами?
  б) равными наименьшими сторонами?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116101

 [Задача Люилье]
Темы:   [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Формула Герона ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть r — радиус вписанной окружности, а ra , rb и rc — радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC , касающихся сторон BC=a , AC=b , AB=c соответственно; p — полупериметр треугольника ABC , S — его площадь. Докажите, что
                     а) = + + ; б) S = .
Прислать комментарий     Решение

Задача 79404

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Формула Герона ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Целочисленные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Радиус вписанной в треугольник окружности равен $ {\frac{4}{3}}$, а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.
Прислать комментарий     Решение

Задача 61171

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Разложение на множители ]
[ Формула Герона ]
[ Неравенства для площади треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам  5 ≤ x, y, z ≤ 8.
Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина  S = 2x²y² + 2x²z² + 2y²z² – x4 – y4 – z4 ?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 62]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .