Каталог по темам

Задачи

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 354]

Задача 73552

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: "Как пройти в село NN?" Ему ответили: "Иди по левой дороге до деревни N – это в 8 верстах отсюда, – там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога – это как раз дорога в NN. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге, – значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN". – "Ну, а какой путь короче-то будет?" – "Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы". И пошёл крестьянин по правой дороге.
Сколько вёрст ему придётся идти до NN? Больше десяти или меньше? А если идти от развилки до NN напрямик? (Все дороги прямые.)

Прислать комментарий Решение

Задача 73574

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Метод спуска	]
	[	Итерации	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству x² – mxy + y² = 1 (1) тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности (2): a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = m, a₃ = m² – 1, a₄ = m³ – 2m, a₅ = m⁴ – 3m² + 1, ..., в которой a_k+1 = ma_k – a_k–1 для любого k 0. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98355

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Авторы: Сендеров В.А., Вялый М.Н.

Пусть 1 + x + x² + ... + x^n–1 = F(x)G(x), где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде (1 + x + x² + ... + x^k–1)T(x), где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1 (k > 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 110090

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий Решение

Задача 64723

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кноп К.А.

Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 354]