Каталог по темам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 67]

Задача 65939

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Протасов В.Ю.

На плоскости даны три прямые l₁, l₂, l₃, образующие треугольник, и отмечена точка O – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки X плоскости обозначим через X_i точку, симметричную точке X относительно прямой l_i, i = 1, 2, 3.
а) Докажите, что для произвольной точки M прямые, соединяющие середины отрезков O₁O₂ и M₁M₂, O₂O₃ и M₂M₃, O₃O₁ и M₃M₁, пересекаются в одной точке.
б) Где может лежать эта точка пересечения?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65049

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Авторы: Белухов Н., Маринов М.

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A₁ на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65375

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Крутовский Р., Фролов И.И.

В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к BC пересекает прямые AB и AC в точках A_B и A_C соответственно. Обозначим через O_a центр описанной окружности треугольника AA_BA_C. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что описанная окружность треугольника O_aO_bO_c касается описанной окружности исходного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65809

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Центр поворотной гомотетии	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Доледенок А.В.

BB₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB₁C₁ в точках B₁ и C₁ пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB₁C₁ лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58399

Темы:	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 67]